1.4 傅里叶光学¶

傅里叶光学（Fourier Optics）将成像系统看作一个线性空间不变系统，用频域方法描述其对空间信息的传递能力。它的核心工具是调制传递函数（MTF），将"系统能传递多细的空间细节"这一问题转化为可量化、可测量的工程指标。傅里叶光学是评价和比较光学系统像质的标准语言。

一、空间频率的概念¶

类比时域信号，图像中重复的明暗条纹可以用空间频率描述：

$$f_s = \frac{1}{p}$$

其中 $p$ 为条纹周期（单位 mm），$f_s$ 的单位为线对/毫米（lp/mm）。

成像系统对不同空间频率的传递能力不同——高频细节通常衰减更多，这种特性用传递函数定量描述。

点扩散函数（Point Spread Function，PSF）描述成像系统对一个理想点目标的响应：理想系统输出仍为点，实际系统输出为一个有限大小的弥散斑。

$$\text{像} = \text{目标} * \text{PSF}$$

其中 $*$ 表示卷积。PSF 越窄，系统分辨能力越强。

光学传递函数（Optical Transfer Function，OTF）是 PSF 的傅里叶变换：

$$\text{OTF}(f_s) = \mathcal{F}{\text{PSF}}$$

OTF 是复数函数，其模称为调制传递函数（MTF），相位部分称为相位传递函数（PTF）：

$$\text{MTF}(f_s) = |\text{OTF}(f_s)|$$

MTF 描述系统在各空间频率下对对比度的保持能力：

$$\text{MTF}(f_s) = \frac{C_{像}(f_s)}{C_{物}(f_s)}$$

其中对比度 $C = (I_{max} - I_{min}) / (I_{max} + I_{min})$。

衍射限系统的截止空间频率：

$$f_{cutoff} = \frac{D}{\lambda f} = \frac{1}{\lambda \cdot (F/#)}$$

例如，$\lambda = 0.5\ \mu\text{m}$，$F/4$ 系统的截止频率约为 500 lp/mm。

成像系统通常由多个环节串联：光学镜头、探测器、电子学、显示器等。非相干成像条件下，系统总 MTF 为各环节 MTF 之积：

$$\text{MTF}{系统} = \text{MTF}} \times \text{MTF{探测器} \times \text{MTF} \times \cdots$$

目标 → [光学MTF] → [探测器MTF] → [电子学MTF] → 最终图像
         ×            ×              ×
         ────────────────────────────────→ 系统MTF

工程意义：任何一个环节的 MTF 低，都会拉低整体系统性能。设计时需识别瓶颈环节优先优化。

探测器像元间距 $p$（单位 μm）决定了采样奈奎斯特频率：

$$f_{Nyquist} = \frac{1}{2p}$$

为避免混叠（Aliasing），光学系统的截止频率应不超过奈奎斯特频率：

$$\frac{1}{\lambda \cdot (F/#)} \leq \frac{1}{2p}$$

即：$F/# \geq \frac{2p}{\lambda}$

工程含义：像元越小，可支持更小的 F 数（更大口径）；波长越长，需要更大 F 数或更大像元匹配。红外系统像元通常较大（15–30 μm），F 数也相应偏大。

大多数光电成像系统工作在非相干模式，使用强度 MTF 评价。

Goodman, Introduction to Fourier Optics (4th Edition), W. H. Freeman — 傅里叶光学经典教材
Boreman, Modulation Transfer Function in Optical and Electro-Optical Systems, SPIE — MTF 工程应用专著
Williams & Becklund, Introduction to the Optical Transfer Function, SPIE

2026-03-03